Boole
George Boole nasceu na cidad e de Lincoln, na Inglaterra, em 2 de Novembro de 1815. Filho de um vendedor de sapato, Boole não tinha muitas opções devido sua formação precária na pequena escola primária de Lincoln.
Como as chances de Boole ingressar em uma faculdade eram poucas ele decidiu tornar-se padre. Embora não tenha se formado como religioso, os quatro anos de preparação eclesiástica abriram as portas para George Boole. Mas foi na Matemática, ensinada por seu pai, que ele encontrou sua verdadeira vocação.
Por iniciativa própria, George Boole passou a estudar as operações matemáticas de forma diferente, separando todos os símbolos das coisas sobre as quais eles operavam, com o intuito de criar um sistema simples e totalmente simbólico. Surge assim a lógica matemática.
Boole ainda é considerado um homem genial por estudiosos da matemática. Mas, como a Lógica de Boole (ou lógica booleana) utiliza um sistema numérico binário, na época de sua descoberta não foi utilizada. Com o surgimento do computador, a utilização do sistema binário tornou-se indispensável e, obviamente, a lógica de Boole passou a ter aplicação prática!
O sistema binário
Como citado anteriormente, o sistema de numeração binária é composto apenas por uns e zeros. Os computadores, na verdade, trabalham apenas com esse sistema de numeração.
Se você pudesse abrir um processador e ver como ele trabalha, seriam zeros e uns para todos os lado, uma verdadeira Matrix binária.
Assim como bem e mal, claro e escuro, fácil e difícil, certo e errado são opostos, com 0 e 1 não seria diferente.
Na lógica Booleana, o zero representa falso, enquanto o um representa verdadeiro. Para trabalhar com esses valores e torná-los algo lógico, que possa ser aplicado, são necessárias as chamadas PORTAS LÓGICAS!
Calma, não se assuste, vamos falar apenas das quatro principais.
Portas Lógicas
Antes de começar a explicar cada uma das portas lógicas, é preciso entender basicamente como elas funcionam. Pense em uma porta lógica como uma sala que possui entradas e saídas. Assim, os bits entram, são processados de acordo com a função da “sala” em que se encontram, e saem em forma de resultado.
Outra característica das portas lógicas é que cada uma possui um desenho que a diferencia das demais. Tais desenhos foram criados a fim de facilitar o entendimento de projetos. Mas agora, chega de papo furado, vamos ao que interessa!
NOT
A porta lógica NOT é também conhecida como inversor por, literalmente, inverte o bit de entrada. Se o bit de entrada for um, por exemplo, o bit de saída será zero, e vice-versa.
AND
And, traduzindo para o português, significa E. Assim como no português o E é usado para a junção de idéias, na lógica booleana é aplicado da mesma maneira.
Essa porta lógica possui dois bits de entrada e um de saída. Para que o bit de saída seja verdadeiro (valor 1) ambos os bits de entrada devem ser verdadeiros.
OR
Or, significa OU e, assim como no português o “ou” tem a função de indicar escolha, na lógica booleana é quase a mesma coisa. Da mesma maneira que a porta AND, a porta OR possui dois bits de entrada e um de saída.
Para que o bit de saída tenha o valor um (verdadeiro), pelo menos um dos bits de entrada precisa ser verdadeiro.
XOR
A porta lógica XOR (OR eXclusivo) retorna verdadeiro apenas quando os bits de entrada forem diferentes, ou seja, um deles for verdadeiro (1) e o outro falso (0).
Se ambos os bits de entrada possuir o mesmo valor, o bit de saída será, sempre, falso.
Concluindo
Além destas quatro portas lógicas, existem outras que são mais complexas, mas vamos deixá-las com quem estuda o assunto mais a fundo. Apenas com as quatro portas principais é possível fazer uma infinidade de combinações e criar diversas coisas, como o contador do vídeo abaixo, feito em um simulador de circuitos lógicos.
Funções lógicas booleanas
Na álgebra de booleana existem postulados ou axiomas que são responsáveis por gerar diversas propriedades. Os principais postulados são:
» Complemento (NÃO):
› Se A = 0 então Ā = 1. (Lê-se: Se A é igual a zero, então, A barrado é igual a um).
› Se A = 1 então Ā = 0. (Lê-se: Se A é igual a um, então, A barrado é igual a zero).
OBS: Alguns autores utilizam como símbolo de complemento a aspa, deste modo também podemos encontrar A’, B’ etc.
» Adição (OU):
› 0 + 0 = 0. (Lê-se: Zero OU zero é igual a zero).
› 0 + 1 = 1. (Lê-se: Zero OU um é igual a um).
› 1 + 0 = 1. (Lê-se: Um OU zero é igual a um).
› 1 + 1 = 1. (Lê-se: Um OU um é igual a um).
» Multiplicação (E):
› 0 · 0 = 0. (Lê-se: Zero E zero é igual a zero).
› 0 · 1 = 0. (Lê-se: Zero E um é igual a zero).
› 1 · 0 = 0. (Lê-se: Um E zero é igual a zero).
› 1 · 1 = 1. (Lê-se: Um E um é igual a um).
Além dos postulados e axiomas apresentados, podemos definir algumas propriedades. Estas propriedades podem ser verificadas utilizando a equivalência lógica. A fim de facilitar o entendimento do conteúdo os dois quadros a seguir foram disponibilizados e todas as propriedades podem ser verificadas facilmente por meio deles.
Manipulações algébricas de expressões
Uma vez apresentados os postulados, as propriedades e os axiomas, temos condições de efetuar a manipulação algébrica de expressões lógicas utilizando estes conceitos. Iremos realizar algumas provas algébricas para a melhor compreensão do conteúdo.
Exemplo: por meio das manipulações algébricas e utilização dos postulados e das propriedades que demonstraremos as três igualdades abaixo.
» Questão 1: A+A·B = A
» Questão 2: A· (A+B) = A
» Questão 3: (A+B) · (A+C) = A + B.C
Dica inicial para solucionarmos juntos: tente resolver você mesmo sem consultar as resoluções a seguir. Caso tenha dúvidas, verifique passo a passo a resolução, compreendendo cada um dos passos e posteriormente resolva novamente você mesmo as questões. Na resolução, lembre-se de que, assim como na matemática, a multiplicação
(E) tem prioridade sobre a soma (OU).
Solução:
Questão 1: A+A·B = A
A + A·B =A·(1+B) → aplicando a propriedade distributiva A + A·B = A·(1) → sabendo que da identidade da adição A + A·B = A → E a identidade da multiplicação
Questão 2: A.(A+B) = A
A·(A+B) = (A·A) + (A·B) → Propriedade distributiva A·(A+B) = A + (A·B) → Identidade da multiplicação A·(A+B) = A
Questão 3: (A+B) · (A+C) = A + B·C
(A+B) · (A+C) = A·A + A·C + B·A + B·C → Propriedade distributiva (A+B) · (A+C) = A·A + A·C + A·B + B·C → Propriedade comutativa (A+B) · (A+C) = A + A·C + A·B + B·C → Identidade da multiplicação
(A+B) · (A+C) = A + A· (C+B) + B·C → Propriedade distributiva (A+B) · (A+C) = A·(1 + (C+B)) + B·C → Propriedade distributiva (A+B) · (A+C) = A· (1) + B·C → Identidade da adição
(A+B) · (A+C) = A + B·C → Identidade da multiplicação
A seguir, iremos deparar com outros exemplos. Uma sugestão é tentar solucionar antes de verificar a solução. Caso tenha dúvida aí sim consulte a resolução compreendendo todos os passos e posteriormente resolva você mesmo às questões. Na resolução, lembre-se que assim como na matemática, a multiplicação (lógica E) tem prioridade sobre a soma (lógica OU).
Conforme pudemos perceber, as variáveis B e C não tem função alguma nesta expressão booleana, ou seja, a única função realizada por esta expressão é ter na saída S o estado lógico da variável A.
Neste caso, a simplificação demonstrou que como S= A, não existe nenhuma função lógica sendo implementada. Assim, podemos dizer que o elemento A pode ser representado como um fio condutor qualquer ligado a saída S, conforme a figura abaixo.
Simplificação de expressões de lógica
por Mapa de Karnaugh
O mapa de Karnaugh, também conhecido como diagrama de Veitch-Karnaugh, é um método gráfico (ou tabela para alguns autores) utilizado também para simplificar as expressões de lógica ou converter esta tabela em um circuito lógico correspondente. Para exemplificar, assumiremos primeiramente as possibilidades de uma expressão de duas variáveis, ou seja, de duas entradas (A e B) serem simplificadas, a figura abaixo apresenta as possibilidades neste modo de duas entradas conforme a figura 7.
